Symbole oznaczone i nieoznaczone w granicy funkcji

Obliczając granice funkcji poprzez zastąpienie jej argumentu wartością graniczną, do której zmierza argument, otrzymujemy symbole graniczne ujmowane w nawiasy kwadratowe, w celu zaznaczenia, że są to wyrażenia otrzymywane przy obliczaniu granic, a nie działania arytmetyczne na liczbach. Należy na tę symbolikę zwracać szczególną uwagę zwłaszcza w sytuacji, gdy otrzymujemy zero w mianowniku, albo wyrażenia zmierzające do nieskończoności. Niektóre z symboli granicznych dają zawsze ten sam wynik, bez względu na to w granicach jakich funkcji otrzymujemy określony symbol i nazywamy je symbolami oznaczonymi. Inne znów dają różne wyniki w zależności od funkcji, której granicę liczymy i takie symbole nazywamy nieoznaczonymi.

Definicja 1: Symbol oznaczony i nieoznaczony

Symbolem oznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i które daje zawsze taki sam wynik niezależny od typu funkcji, w granicy której otrzymuje się dany symbol graniczny.

Symbolem nieoznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i którego wartości nie da się jednoznacznie obliczyć na podstawie jedynie granic funkcji składowych, z których powstaje symbol graniczny i wynik zależy od typu funkcji, w granicy której otrzymuje się dany symbol graniczny.

Uwaga 1:

Do obliczania symboli oznaczonych służą odpowiednie twierdzenia podające wartości konkretnych symboli granicznych. Nie istnieją natomiast ogólne twierdzenia pozwalające obliczyć wartość symbolu nieoznaczonego i w każdym przypadku indywidualnie należy, stosując odpowiednie przekształcenie algebraiczne, zamienić symbol nieoznaczony na oznaczony. Jedną z metod stosowanych do obliczania granic funkcji, które prowadzą do symbolu nieoznaczonego, jest odpowiednie zastosowanie reguły de l’Hospitala.

Twierdzenie 1: o symbolach oznaczonych

Niech \( a \) będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Symbolami oznaczonymi są

\( [\pm\infty+a]=\pm \infty\\ [a\cdot (\pm \infty)]=\left\{{\pm \infty,\textrm{ dla }a > 0}\atop {\mp \infty,\textrm{ dla } a < 0}\right.\\ [\pm \infty \cdot (\pm \infty)]=+ \infty\\ [\pm \infty \cdot (\mp \infty)]=-\infty\\ \left[\frac{a}{\pm \infty}\right]=0\\ \left[\frac{a}{0^{\pm}}\right]=\left\{{\pm \infty,\textrm{ dla }a > 0}\atop {\mp \infty,\textrm{ dla } a < 0}\right.\\ \left[\infty ^a\right]=\left\{{\pm \infty,\textrm{ dla }a > 0}\atop {0,\textrm{ dla } a < 0}\right.\\ \left[\infty^{\infty}\right]=\infty \)

gdzie symbol \( [0^+] \) oznacza granicę funkcji o wartościach dodatnich, która wynosi zero, a symbol \( [0^-] \) granicę funkcji o wartościach ujemnych, która wynosi zero.

Przykład 1:

Oblicz granicę \( \lim_{x\to \infty}{\frac{x+1}{x^2+1}} \).

Rozwiązanie:
\( \lim_{x\to \infty}{\frac{x+1}{x^2+1}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{1}{x} \cdot \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}=\left[\frac{1}{\infty}\cdot \frac{1+\frac{1}{\infty}}{1+\frac{1}{\infty}}\right]=\left[0\cdot \frac{1+0}{1+0}\right]=0 \)

Przykład 2:

Oblicz granicę \( \lim_{x\to \infty}{\frac{2^{2x}+x^x}{4^{x-1}}} \).

Rozwiązanie:
\( \lim_{x\to \infty}{\frac{2^{2x}+x^x}{4^{x-1}}}=\lim_{x\to \infty}{\left(\frac{4^x}{4^x\cdot \frac{1}{4}}+\frac{x^x}{4^x\cdot \frac{1}{4}}\right)}=\lim_{x\to \infty}{\left(4+4\cdot \left(\frac{x}{4}\right)^x\right)}=\left[4+4\cdot \left(\frac{\infty}{4}\right)^{\infty}\right]=[4+\infty]=\infty \)

Przykład 3:

Oblicz granicę \( \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{\cos^2{x}}} \).

Rozwiązanie:
Zauważmy, że \( \cos^2{x}\geq 0 \), czyli dla \( x \) zmierzających do \( -\frac{\pi}{2} \) funkcja \( \cos^2{x} \) zmierza do granicy \( 0 \) po wartościach dodatnich, co zapisujemy \( \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}}{\cos^2{x}}=0^+ \). Obliczamy granicę

\( \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{\cos^2{x}}}=\left[\frac{-\frac{\pi}{2}}{0^+}\right]=-\infty \).

Twierdzenie 2: o symbolach nieoznaczonych

Symbolami nieoznaczonymi są \( \left[\frac{0}{0}\right],\left[\frac{\infty}{\infty}\right], \left[0\cdot \infty\right],\left[\infty ^0\right],\left[0^0\right],\left[1^{\infty}\right]. \)

Przykład 4:

Wykaż, że symbol \( \left[\frac{0}{0}\right] \) jest nieoznaczony.

Rozwiązanie:
Wiemy, że \( \lim_{x\to 1}{(x-1)}=\lim_{x\to 1}{(x^2-1)}=\lim_{x\to 1}{(x^3-1)}=0 \).
Obliczamy dwie różne granice, które dają ten sam symbol nieoznaczony \( \left[\frac{0}{0}\right] \), ale różne wyniki końcowe
\( \lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{x^2-1}}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}}=\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x+1}}=\frac{1}{2} \)
\( \lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{x^3-1}}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}}=\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x^2+x+1}}=\frac{1}{3} \).
Świadczy to o tym, że nie da się w sposób jednoznaczny okreslić wartości symbolu \( \left[\frac{0}{0}\right] \).

Przykład 5:

Wykaż, że symbol \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \) jest nieoznaczony.

Rozwiąznie:
Znajdziemy dwie funkcje, które w granicach dają ten sam symbol graniczny \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \), ale różne wyniki końcowe
\( \lim_{x\to \infty}{\frac{x^2-2}{x^3-3}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\to \infty}{\frac{x^2\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}{x^3\left(1-\frac{3}{x^3}\right)}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{1}{x}\cdot \frac{\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}{\left(1-\frac{3}{x^3}\right)}}=\left[\frac{1}{\infty}\cdot \frac{1-\frac{1}{\infty}}{1-\frac{1}{\infty}}\right]=0 \)
\( \lim_{x\to \infty}{\frac{x^3-3}{x^2-2}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\to \infty}{\frac{x^3\left(1-\frac{3}{x^3}\right)}{x^2\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}}=\lim_{x\to \infty}{x\cdot \frac{\left(1-\frac{3}{x^3}\right)}{\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}}=\left[\infty\cdot \frac{1-\frac{1}{\infty}}{1-\frac{1}{\infty}}\right]=\infty \)
Różne wyniki dowodzą, że nie da się w sposób jednoznaczny okreslić wartości symbolu \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \).

Przykład 6:

Wykaż, że symbol \( \left[1^{\infty}\right] \) jest nieoznaczony.

Rozwiąznie:
Znajdziemy dwie funkcje, które daja ten sam symbol graniczny \( \left[1^{\infty}\right] \), ale różne wyniki końcowe uzyskane za pomocą znanej granicy funkcji \( \lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}=e \).
\( \lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}}=\left[1^{\infty}\right]=\lim_{x\to \infty}{\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^2}=e^2 \)
\( \lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x}}=\left[1^{\infty}\right]=\lim_{x\to \infty}{\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^3}=e^3 \)

Różne wyniki dowodzą, że nie da się w sposób jednoznaczny określić wartości symbolu \( \left[1^{\infty}\right] \).

Uwaga 2:

Twierdzenia o symbolach oznaczonych i nieoznaczonych stosują się też do granic jednostronnych.

Przykład 7:

Zbadaj istnienie granicy \( \lim_{x\to -1}{\frac{1}{x+1}} \).

Rozwiazanie:
Zauważmy, że wyrażenie \( x+1 \) jest dodatnie dla \( x > -1 \) i ujemne dla \( x < -1 \), zatem \( \lim_{x\to (-1)^-}{(x+1)}=[0^-] \) oraz \( \lim_{x\to (-1)^+}{(x+1)}=[0^+] \). Obliczamy teraz granice jednostronne i sprawdzimy, czy są równe.

\( \lim_{x\to (-1)^-}{\frac{1}{x+1}}=\left[\frac{1}{0^-}\right]=-\infty \)

\( \lim_{x\to (-1)^+}{\frac{1}{x+1}}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty \)

Ponieważ granice jednostronne są różne, to badana funkcja nie ma granicy w punkcie \( -1 \).

Przykład 8:

Oblicz granice jednostronne funkcji \( 2^{\frac{1}{2-x}} \) w punkcie \( x_0=2 \).

Rozwiązanie:
Pomocniczo obliczymy granice jednostronne wykładnika
\( \lim_{x\to 2^-}{\frac{1}{2-x}}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty \) oraz \( \lim_{x \to 2^+}{\frac{1}{2-x}}=\left[\frac{1}{0^-}\right]=-\infty \)
Skorzystamy z wykresu funkcji wykładniczej \( 2^x \), z którego odczytujemy \( \lim_{x\to +\infty}{2^x}=+\infty \) i \( \lim_{x\to -\infty}{2^x}=0 \).
Zatem

\( \lim_{x\to 2^-}{2^{\frac{1}{2-x}}}=+\infty \)

\( \lim_{x\to 2^+}{2^{\frac{1}{2-x}}}=0. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka